?

Log in

No account? Create an account

Взвешивание монет (задача Саладина) - Clittary Hilton

Jan. 27th, 2010

02:07 pm - Взвешивание монет (задача Саладина)

Previous Entry Share Next Entry

Comments:

From:kadiyabdurahman
Date:February 17th, 2010 11:55 am (UTC)
(Link)
Меня мучает еще одна задача. Я прочитал, что букашка не может убежать от Ахиллеса и мне стало за нее обидно. Я решил изменить условия и вот что получилось:
Ахиллес и букашка стартуют из одной точки практически одновременно, но Ахиллес на малую величину раньше. Бежит он, разумеется, быстрее (с постоянной скоростью V). Но справедливости ради для букашки есть две поблажки. Ахиллес держит один конец эластичной ленты, другой ее конец привязан к точке старта. Букашка ползет также с постоянной скоростью по ленте. Догонит ли букашка Ахиллеса? При каких граничных условиях?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:clittary_hilton
Date:February 17th, 2010 04:16 pm (UTC)
(Link)
В каком смысле букашка ползет также с постоянной скоростью по ленте? Если скорость постоянна по отношению к точке старта, то букашке ничего не поможет...

С другой стороны, представим себе букашку, ползущую по экватору с постоянной угловой скоростью ω. А земля расширяется, так что длина экватора растет со скоростью V. Конечно, какова бы ни была V, букашка совершит кругосветное путешествие за время 2π/ω... однако, при достаточно большой V, скорость букашки по касательной может превысить скорость света (что нисколько не противоречит специальной теории относительности).

Ваша задача как-то обыгрывает старинный вопрос в общей теории относительности: в замкнутой вселенной путешественник улетевший с постоянной скоростью всегда ли вернется с обратной стороны?

Edited at 2010-02-17 04:31 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:clittary_hilton
Date:February 17th, 2010 10:27 pm (UTC)

решение

(Link)
Если разумно поставить вопрос, то есть считать, что букашка ползет с постоянной скоростью v < V по отношению к той точке на ленте, в которой она в данный момент находится (что вы скорее всего имели ввиду), то ответ таков:
Букашка всегда догонит Ахиллеса, причем ей на то потребуется время равное (L0/v) eV/v, где L0 есть длина ленты в момент, когда букашка начала бежать.

Photobucket


Edited at 2010-02-18 02:43 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
From:kadiyabdurahman
Date:February 18th, 2010 06:38 am (UTC)
(Link)
Скорость постоянна относительно ленты, конечно (точки под букашкой, которую можно считать тоже точечной). Букашка просто перебирает ножками и уже забыла про точку старта.
А задачку я придумал, когда размышлял как раз о расширении Вселенной и красном смещении. Мне нравится задавать ее людям, которые математику помнят нетвердо - они сразу говорят: "О, это элементарно!" - и потом ходят с туманным взором и с интервалом 5 минут восклицают: "Ну конечно догонит!" и "Нет, разумеется, не догонит!"
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:clittary_hilton
Date:February 18th, 2010 04:33 pm (UTC)

Поздравляю !

(Link)
Очень элегантная задача... если мое решение правильное, а я полагаю, что это так, то результат, что букашка на ленте догонит Ахиллеса при любом соотношении скоростей, оказался для меня неожиданным. То есть, пока я не решила простенькое дифференциальное уравнение, ответ был неясен.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:glas_predkov
Date:August 16th, 2011 04:10 am (UTC)
(Link)
О, задачка эта знаменитая! Слышал я, как предание, что Андрей Дмитриевич Сахаров решил ее (в варианте муравья, ползущего по растягивающемуся червяку) за 5 мин где-то...
(Reply) (Parent) (Thread)
From:kadiyabdurahman
Date:August 16th, 2011 06:11 am (UTC)
(Link)
Ну вот, как обычно - все давно придумано!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:clittary_hilton
Date:August 16th, 2011 10:41 pm (UTC)
(Link)
Справедливости ради отмечу, что мне тоже хватило пяти минут, правда с бумажкой и карандашом: уравнение я составила сразу же, но пока я его не решила, ничего сказать не могла, даже качественно, догонит или не догонит. Андрей Дмитриевич, возможно, решал простенькие дифференциальные уравнения в уме, либо он как-то умел чувствовать качественный ответ.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:glas_predkov
Date:August 17th, 2011 04:03 am (UTC)
(Link)
предание доносит, что экспоненту, еxp^(v1/v2), он сразу осознал... Ta-a-a-k, а вот и первоисточник! Историю этой задачки, и преинтереснейшую, с оригиналом решения Сахарова (!) можно найти ... в списке упражнений к фейнмановским лекциям - вот здесь:
http://www.feynmanlectures.info/exercises/bug_on_band.html
(Reply) (Parent) (Thread)